信号与系统

通常说的频率，在没有特别指明的情况下，指的是模拟频率，其单位为赫兹(Hz)，数 学符号用f来表示。因为现实中信号大多为模拟信号。以Hz表示的模拟频率表示的是每 秒时间内信号变化的周期数。旋转一圈表示信号变化一个周期，则模拟频率则指的是 每秒时间内信号旋转的圈数。\par 模拟角频率，数学符号Ω，其单位为弧度/秒(rad/s)。f是每秒时间内信号旋转的圈数， 每一圈的角度变化数为\(2\pi{}\)。很显然，旋转f圈对应着\(2\pi{}*f\)的弧度。即 \[\Omega=2\pi{}*f\] 数字信号是从模拟信号采样而得，采样频率通常用fs表示。数字频率更准确的叫法应 该是归一化数字角频率，其单位为弧度(rad)，数学符号ω表示 \[w=2pi{}*f/fs\] 其物理意义是相邻两个采样点之间所变化的弧度数.假定有一个正弦信号x(t)，其频率 f=100Hz，幅度为A，初始相位为0，则这个信号用公式可以表示为 \[x(t) = A*sin(2*pi{}*100*t) \] 用采样频率fs=500Hz对其进行采样，得到的数字信号x[n]为 \[x[n]=A*sin(2*pi{}*100*n/fs)=A*sin(0.4*pi{}*n)\] 数字信号的频率为\(0.4pi{}\), 对应两个数字频率完全相同的信号，其模拟频率未必 相同，因为这里还要考虑采样频率。这种归一化为处理带来了方便，但也给理解带来 了困惑。在数字信号中，虽然经常不显式地出现采样频率，但它却是架起模拟信号与 数字信号的桥梁，对信号处理的过程有举足轻重的影响。

• 模拟频率f：每秒经历多少个周期，单位Hz；
• 模拟角频率Ω：每秒经历多少弧度，单位rad/s，范围应该是\([-\infty,\infty]\);
• 数字频率w：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad，范围应该是\([0,2\pi]\),也是 在一圈以内，否则违反了奈奎斯特频率定理，w就没有意义了。
• 采样频率fs：每秒采样点数，单位Hz
• 关系：\(\Omega = 2\pi{}f\), \(w = \Omega{}T\), 将数字频率和模拟频率联系起来的是采样 频率即\(w=2\pi{}f/fs\), 即数字频率可以看做归一化的模拟频率乘以\(2\pi\)
• 频域中频率的表示方法：
  1. 序号表示方法，根据时域中信号的样本数取0~N/2，用这种方法在程序中使用起 来可以更直接地取得每种频率的幅度值，因为频率值跟数组的序号是一一对应 的:X[k]，取值范围是0~N/2 ；
  2. 分数表示方法，根据时域中信号的样本数的比例值取0 ~ 0.5:X[ƒ]，ƒ=k/N，取 值范围是0~0.5；
  3. 用弧度值来表示，把ƒ乘以一个\(2\pi\)得到一个弧度值，这种表示方法叫做自 然频率(natural frequency)：\(X[\Omega],\Omega=2\pi{}ƒ=2\pi{}k/N\)，取 值范围是0~π;
  4. 以赫兹(Hz)为单位来表示，这个是特殊应用，如取样率为10kHz表示每秒有 10,000个样本数：取值范围是0到取样率的一半 ;

• 特征函数：一个信号函数，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可以是复数)乘以 输入信号，则称该信号为系统的特征函数；
• 复指数信号：\(e^{j\Omega{}t}\)在\([0, 2\pi]\)上构成完备正交集，见数学中对复数的 定义，wt表示辐角，\([0, 2\pi]\)也就表示复数的所有辐角；
• 冲击函数：复指数信号在实轴上的积分是冲击函数\(\delta\);
• 谱熵：谱熵反映了谱的集中程度，谱熵越小表示谱越集中，谱熵越大，表示谱的不 确定性越大，信号越复杂，谱在各频率成分上越均匀；

线性时不变系统简称LTI系统，可以用它对单位脉冲序列的响应(h(n))来表示。

• 离散信号可以由单位冲击响应信号来表示。式子如\ref{equ-sigma}, 其中x[k]可以 看做常量，\(\sigma[n]\) 是冲激响应。

  \begin{equation} \label{equ-sigma} x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\sigma[n-k] \end{equation}

• 傅里叶变化和级数：如果x(t)有一个傅里叶级数表示式\ref{equ-xt}，即x(t)能够 表示成一组谐波关系的复指数信号的线性组合，那么傅里叶级数中的系数a_k确定， 这对关系式就定义为一个周期连续时间信号的傅里叶级数, 其中周期为T， \(\Omega{}_{0}=\frac{2\pi}{T}\)

  \begin{equation} \label{equ-xt} x(t)=\sum_{-\infty{}}^{+\infty{}}a_{k}e^{jk\Omega{}_{0}t} \end{equation}

  系数为式\ref{equ-ak}

  \begin{equation} \label{equ-ak} a_{k}=\frac{\int_{T}x(t)e^{-jk\Omega{}_{0}t}\mathrm{d}t}{T} \end{equation}

• 频率响应：一个脉冲响应(h(n))的离散时间傅里叶变换称为一个LTI系统的频率响应 或传递函数.也可以理解为，脉冲响应h(n)对某频率输入信号的响应，输入信号x(n) 可以表示成\(e^{j\Omega{}n}\)的级数形式，也代表了x(n)具有一系列频率分量 Ω，求一个系统对复指数信号\(e^{j\Omega{}_{0}n}\)的响应时，输入信号为 \(x(n)=e^{j\Omega{}_{0}n}\), 该响应由式子\ref{equ-ejwnhn}

  \begin{equation} \label{equ-ejwnhn} x(n)=e^{j\Omega{}_{0}n} \Rightarrow h(n) \Rightarrow y(n)=h(n)*e^{j\Omega{}_{0}n} \end{equation}

  因而

  \begin{equation} \label{equ-whn} y(n)=h(n)*e^{j\Omega{}_{0}n}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k)e^{j\Omega{}_{0}(n-k)} = [\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k)e^{-j\Omega{}_{0}k}]e^{j\Omega{}_{0}n} = [F[h(n)]|_{\Omega{}=\Omega{}_{0}}]e^{j\Omega{}_{0}n} \end{equation}

  由于输入信号x(n)可以表示成复指数的级数形式，所以x(n)的每个频率分量都可以 经过h(n)在每个频率上做响应，进而叠加得到x(n)的输出y(n)，式子\ref{equ-whn} 也说明了输出序列是输入指数序列被系统h(n)在Ω₀频率处的响应修饰后的结果。 因此一个LTI系统可以在频域表示为式子\ref{equ-frqzone}, 时域y(n)可从 \(Y(e^{j\Omega{}})\)用傅里叶逆变换获得。

  \begin{equation} \label{equ-frqzone} X(e^{j\Omega{}}) \Rightarrow H(e^{j\Omega{}}) \Rightarrow Y(e^{j\Omega{}})=H(e^{j\Omega{}})X(e^{j\Omega{}}) \end{equation}
• 系统函数：若系统的输入x(t)是一个复指数信号e^st, 其输出y(t)=H(s)e^st, H(s)表示为 \[H(s)=\int_{-\infty}^{\infty}h(r)e^{-sr}dr\] 式子中h(t)是单位冲激响应，对于离散信号x[n]=zⁿ同理。当s和n是一般复数时， H(s)和H(z)就是该系统的系统函数。当s和n是纯虚数jΩ时，H(jΩ)就 是上面的频率响应。
• 傅里叶级数，傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换： 傅里叶级数 只能对周期信号 进行分析，找出主要频率分量，也就是相应频率信号幅度最大(能量越大)的信号； 傅里叶级数具有周期性的局限性，所以又有了 傅里叶变换 ，此时信号不必是周 期性的，但是也有条件，那就是必须要是能量有限，也就是绝对可积。所以傅里叶 变换用于处理非周期信号；然而也有局限性，不适用于指数级增长的信号，所以又 推出了 拉普拉斯变换 ，拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅里叶变换， 把频域推广到复频域，能够分析的信号就更广了，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一 种特例，在拉普拉斯变换中，只要令Re[s]=1,就得到傅立叶变换 ，然而缺点是从拉 氏变换中只能看到复变量s，没有频率f的概念，要看幅频响应和相频响应，需要令 \(s=j2\pi{}f\). Z变换 简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的拉普拉斯 变换，也可以说是离散时间信号的傅里叶变换，如果说拉氏变换专门分析模拟信号， 那Z变换就是专门分析数字信号，Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法，Z变换看系 统频率响应。
• 所有的幅度谱、能量谱、功率谱等，都是指具有该种频率的成分对它的贡献。

几种变换的时域和频域特性见表\ref{tbl-trans-way}所示

如果一个系统的冲击响应为h(n), 表示方式如\ref{equ-hn}，可以理解为由于一个k时 刻的单位脉冲\(\sigma{}(n-k)\)引起的系统响应为h(n-k), 而输入信号x(n)是由k从 负无穷时刻到正无穷时刻的所有冲击\(\sigma{}(n-k)\)叠加，所以x(n)的对于线性系 统的响应也就由从负无穷到正无穷逐个移位出来的h(n-k)叠加而成，写成卷积形式如 \ref{equ-conv}, 从某种意义上讲，卷积的输出结果是和时间没有关系的，所以一般 MATLAB或者python的卷积计算函数都不用带时间信息，只需要输入值序列。

傅里叶级数和泰勒级数都是为了将一个函数分解成若干基函数叠加形式。

令x(t)是一绝对可积的模拟信号，它的CTFT表示为 \[X(j\Omega{}) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega{}t}dt\] 其逆变换表示为 \[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\Omega)e^{j\Omega{}t}d\Omega\] 逆变换解释

• CTFT是变换到频域，需要用到模拟频率\(\Omega\)，所以积分上下限是无穷；
• 模拟频率\(\Omega\)归一化时需要除以2π.

如果x(n)是绝对可加的，即\(\sum_{-\infty}^{\infty}|x(n)| < \infty\)，则其离 散时间傅里叶变换表示如\ref{equ-xjw}

\(X(e^{j\Omega{}})\)的离散时间傅里叶逆变换(IDTFT)可以表示如\ref{equ-xn}

算子F[.]把一个离散信号x(n)变换成一个实变量w的复值连续函数\(X(e^{j\Omega{}})\), w被 称为数字频率，它用 弧度 来度量。 基本上离散和周期是相互关联的，一个周期信号的傅里叶级数表示中，当周期增加时， 基波频率就减小，成谐波关系的各分量在频率上越靠近，当周期变成无穷大时，这些 频率分量就变成了一个连续域。频域和时域，在数学上都是一样的，只是一个是频率 一个是时间。

• 时域离散，频域就会有周期性；
• 频域离散，时域就会有周期性；
• 频域和时域相对应，复指数信号\(e^{j\Omega{}t}\)和冲击信号\(\delta\)相对应，即如果 复指数信号是时域的信号，频率是w，则频域就是在频率轴上w处的一个冲击；

离散时间傅里叶变换（DTFT）有时也称为序列傅里叶变换。DTFT实质上就是单位圆上 的(双边)Z变换。当时域信号为连续信号时，用连续时间傅里叶变换；为离散信号时， 用DTFT,DTFT使我们能够在频域（数字频域）分析离散时间信号的频谱和离散系统的频 响特性\(X(e^{jw})\)。但还存在两个实际问题。

1. 数字频率w是一个模拟量，为了便于用数字的方法进行分析和处理，仅仅在时域将 时间变量t离散化还不够，还必须在频域将数字频率w离散化。
2. 实际的序列大多为无限长的，为了分析和处理的方便，必须把无限长序列截断或分 段，化作有限长序列来处理。

DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT是把有限长序列作 为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频 域都是有限长序列。DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤其是DFT 的快速算法FFT。

• np.fft.fft(samplings):对samplings点做FFT变换；
• np.fft.rfft(samplings):上面的是左右两边对称的，这个是只有单边的；
• np.fft.fftfreq(N):表示N点的频率序号，如果再乘以频率分辨率Fs/N, 就可以得到 N点的频率值；
• fft变换后，除第一个0频直流分量，频谱在频率上对称，对称点在奈奎斯特频率上， 即如果Fs是采样频率，对称点在Fs/2上；
• 当时域数据个数和fft变换使用的数据个数相同时，频率分辨率正常(点数较少时， 分辨率低)，但是没有由于添零混入其他频率成分；
• 当时域信号数据加零数据后，可以增加fft变换的数据个数，可以提高频率分辨率， 但是振幅谱中会多出其他频率成分；
• DFT和功率谱：若数据有N个点，采样频率为fs，那么DFT的分辨率为fs/N，在没有噪 声的情况下；如果信号恰好位于k*fs/N的频率上，那么就会在这个频点处为最大值， 其他频点处为0。但是，如果信号频率不是分析频率的整数倍，那么原本集中在某个 频点的功率就会分散到整个功率谱上去。
• 频率分辨率：对于fs=8000，N=64的信号，其分辨率为125Hz，所以如果两信号频率 之间相差小于125，那么DFT的功率谱就不会区分它们。 而假如将信号之间的频率差 较大，比如1个是1500Hz，另一个是1800Hz，那么64点DFT可以区分。补0是使用DFT 分析信号的一种常用手段，它在功率谱分析上的作用主要在于：1.将样点数变为2的 整数次幂，便于FFT计算；2，使DFT的频率分析点变得更细，可以更加精确的说明信 号的所在的频率。但是补0并不能改变DFT的分辨率，即如果将64点1500与1562.5Hz 的信号混合在一起，然后补64个0，那么DFT依然不能区分它们。但是如果将信号的 采样个数提高，那么就会有所好转
• 无限长周期信号：对于原本是无限长的时域周期信号，可以通过原功率谱与窗函数 的卷积来描述有限点长度信号功率谱与原信号功率谱的差异。因而不同的窗函数有 不同的影响，虽然描述窗函数的指标很多，但是一般人们关心的主要是主瓣宽度和 旁瓣的幅度。但是他们是矛盾的，矩形窗具有最低的主瓣宽度，使得分辨率最高， 但是它的旁瓣幅度也是最高的
• DFT有效频率：信号长度N个点，则DFT最多只能表达\(\frac{N}{2}+1\)个不同的频 率, 一个直流和谐波频率，超过奈奎斯特频率后就对称重复了。

数字滤波器与LTI系统是等价的，描述方式可以有4种。

• 差分方程；
• 单位冲激响应h(n), 可以分类如下；
  1. FIR滤波器：有限脉冲响应，也就是h(n)只在一段时间内才有信号，其他都是0。
  2. IIR滤波器：无限脉冲响应，也就是h(n)在所有时间内都有信号。
• 传递函数:若用X(z)表示输入x(n)的Z变换，用Y(z)表示输出y(n)的Z变换，则滤波 器的传递函数可以写为： \[H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+..+b_{N-1}z^{-(N-1)}}{1+a_{1}z^{-1}+..+a_{M-1}z^{-(M-1)}}\] 利用该式可以用零极图和矢量等工具对滤波器进行直观的分析。通常M>=N, 对FIR 滤波器来说H(z)的零点个数为滤波器的阶数。对IIR滤波器来说，H(z)的极点个数 称为滤波器的阶数。所以FIR滤波器的阶数为N-1，IIR滤波器的阶数为M-1。阶数越 高表明滤波器的系数越多，在实现时运算效率也越低。
• 频率响应：复指数信号是LTI系统的特征信号，也是滤波器的特征信号，当滤波器输 入为单频复指数信号时，系统的输出为频率相同的单频正弦信号，只是幅度和相位 可能发生改变。频率响应描述的就是不同频率信号通过滤波器后幅度和相位的变化 情况。频率响应是H(z)在单位圆上的取值，并且与单位脉冲响应之间是傅里叶变换 的关系，用数学公式表示, 并且可以转为幅频响应和相频响应的乘积。可以分为 \[H(e^{jw})=H(z)|_{z=e^{jw}}=\frac{Y(e^{jw})}{X(e^{jw})}\]
  1. 低通滤波器；
  2. 高通滤波器；
  3. 带通滤波器；
  4. 带阻滤波器；
  5. 全通滤波器：主要用于改善信号的相频响应；

滤波器的基本构成单元

1. 加法单元；
2. 乘法单元；
3. 延时单元；